单位系统背后的哲学

尺寸

介绍

在单位系统的根部是维度系统，其结构主要决定了单位系统的结构。我们的定义可能显得粗糙，但它们在很大程度上足以满足我们的目的。

一个维度将被定义为一个可测量的属性，并分配给特定的现象。从这个意义上说，维度不同于纯数字，因为它们带有某种额外的意义，因此两个不同的维度不能相加。例如，时间或长度是维度，但也有其他对我们有意义的事物，如角度、粒子数（摩尔…）或信息（比特…）。

从这个角度来看，唯一真正无量纲的量是纯数。无量纲的概念非常依赖于系统，正如从 \((c, \hbar, G)\) 中可以看到的那样，其中所有单位在通常的常识中似乎都是无量纲的。这对于通用单位系统的可计算性是不可避免的（但最终我们可以告诉程序什么是无量纲的）。

维度可以通过取它们的乘积或比率（将在下面定义）组合在一起。例如，速度定义为长度除以时间，或者我们可以将长度视为速度乘以时间，这取决于我们将什么视为更基本的：通常，我们可以选择一组基本维度，从中可以描述所有其他维度。

组结构

在简短介绍之后，我们的目的是从直观的角度引入维度，接下来我们将描述其数学结构。一个具有 \(n\) 个独立维度 \(\{d_i\}_{i=1,\ldots,n}\) 的维度系统由一个乘法群 \(G\) 描述：

  • 存在一个对应于纯数的单位元素 \(1\)；

  • 两个元素 \(D_1, D_2 \in G\) 的乘积 \(D_3 = D_1 D_2\) 也在 \(G\) 中；

  • 任何元素 \(D \in G\) 都有逆元素 \(D^{-1} \in G\)。

我们表示

\[D^n = \underbrace{D \times \cdots \times D}_{\text{$n$次}},\]

并且根据定义 \(D^0 = 1\)。\(\{d_i\}_{i=1,\ldots,n}\) 被称为群的生成元，因为群中的任意元素 \(D \in G\) 都可以表示为生成元的幂的乘积：

\[D = \prod_{i=1}^n d_i^{a_i}, \qquad a_i \in \mathbf{Z}.\]

当 \(a_i = 0, \forall i\) 时，给出的是单位元，而当 \(a_i = 1, a_j = 0, \forall j eq i\) 时，我们恢复生成元 \(d_i\)。这个群具有以下性质：

  1. 阿贝尔的，因为生成元交换，\([d_i, d_j] = 0\)；

  2. 可数的（无限但离散的），因为元素由生成器的幂次索引 [1]。

可以通过对旧生成元进行某种组合来改变维度基 \(\{d'_i\}_{i=1,\ldots,n}\)。

\[d'_i = \prod_{j=1}^n d_j^{P_{ij}}.\]

线性空间表示

可以使用线性空间 \(\mathbf{Z}^n\) 作为群的表示，因为幂系数 \(a_i\) 包含了所需的所有信息（我们不区分群元素及其表示）：

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}(d_i)_j = \delta_{ij}, \qquad D = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}.\end{split}\\\begin{split}(d_i)_j = \delta_{ij}, \qquad D = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}.\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

基的变换到 \(d'_i\) 遵循线性空间基变换的通常规则，矩阵由系数 \(P_{ij}\) 给出，这些系数仅仅是新向量在旧基下的系数：

\[d'_i = P_{ij} d_j.\]

我们将在算法中使用这最后一个解决方案。

一个例子

为了说明所有这些形式主义，我们在本节末尾给出了一个具体的例子，即MKS系统（米，千克，秒），其维度为（L：长度，M：质量，T：时间）。它们表示为（我们将始终按字母顺序排列向量）

\[\begin{split}L = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad M = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.\end{split}\]

其他维度可以被推导出来，例如速度 \(V\) 或作用量 \(A\)

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}V = L T^{-1}, \qquad A = M L^2 T^{-2},\\ V = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \qquad A = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}.\end{split}\\\begin{split}V = L T^{-1}, \qquad A = M L^2 T^{-2},\\ V = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \qquad A = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}.\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

我们可以改变基底以转换到自然系统 \((m, c, \hbar)\) ，其维度为（L: 长度，V: 速度，A: 作用量）[#]_。在这个基底中，生成元是

\[\begin{split}A = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad L = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad V = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\end{split}\]

而质量和时间由

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}T = L V^{-1}, \qquad M = A V^{-2},\\ T = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \qquad M = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}.\end{split}\\\begin{split}T = L V^{-1}, \qquad M = A V^{-2},\\ T = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \qquad M = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}.\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

最后，通过将向量粘贴到旧基中，得到基矩阵的逆变换 \(P^{-1}\)：

\[\begin{split}P^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}.\end{split}\]

要找到基变换矩阵，我们只需取逆矩阵。

\[\begin{split}P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}.\end{split}\]

量

一个量由其名称、维度和相对于同一维度标准量的因子定义。标准量是单位模块的内部参考，对最终用户不应相关。单位和物理常数都是量。

单位

单位，如米、秒和千克，通常是人类选择的参考量，用于指代其他量。

在定义了几个不同维度的单位之后，我们可以形成一个单位系统，这基本上是一个带有尺度概念的维度系统。

常量

物理常数只是一些量。它们表明我们曾经不理解两个维度实际上是相同的。例如，我们看到光速不同于1，因为我们不认为时间与空间是相同的（这很正常，因为我们的感觉；但在基本层面上是不同的）。例如，曾经有一个“热常数”，它允许在焦耳和卡路里之间转换，因为人们不知道热就是能量。一旦他们理解了这一点，他们就将这个常数固定为1（这是一个非常简化的故事）。

我们可以将现在在SI中固定基本常数值的事实解释为它们是单位（我们用它们来定义其他常用单位）。

对参考文献的需求

从头定义单位和单位系统是不可能的：我们需要定义一些参考，然后在此基础上构建其余部分。换句话说，我们需要为我们的单位尺度设定一个起点（即一个因子为1的单位），并且为了确保给定维度的所有单位定义一致，我们需要对所有单位使用相同的起点。如果我们想在另一个系统中使用派生单位作为基本单位，这种情况可能会发生：我们不应该将其定义为具有尺度1，因为即使它在系统内部是不一致的，我们也无法转换到第一个系统，因为我们有两个不同的单位（从我们的角度来看）具有相同的尺度（这意味着它们对计算机来说是相等的）。

我们将那些在系统外部定义的维度和尺度称为规范的，因为我们将它们用于所有计算。另一方面，相对于系统获得的维度和尺度称为物理的，因为它们最终具有意义。

让我们使用一个具体的（且重要的）例子：质量单位的情形。我们希望将克定义为原点。我们希望将克定义为质量的规范原点，因此我们将其赋予比例1。然后我们可以定义一个系统（例如在化学中）将其作为基本单位。MKS系统更喜欢使用千克；一个天真的选择是将其赋予比例1，因为它是基本单位，但我们看到我们不能转换到化学系统，因为克和千克都被赋予了相同的因子。因此，我们需要将千克定义为1000克，然后仅在MKS中将其用作基本单位。但一旦我们问“千克在MKS中的因子是多少？”，我们得到的答案是1，因为它是基本单位。

因此，我们将定义所有计算而不涉及系统，只有在最后，我们才能将结果插入系统中，以给出我们感兴趣的上下文。

文献

[Page52]

C. H. Page, Classes of units in the SI, Am. J. of Phys. 20, 1 (1952): 1.

[Page78]

C. H. Page, Units and Dimensions in Physics, Am. J. of Phys. 46, 1 (1978): 78.

[deBoer79]

J. de Boer, Group properties of quantities and units, Am. J. of Phys. 47, 9 (1979): 818.

[LevyLeblond77]

J.-M. Lévy-Leblond, 论物理常数的概念本质, La Rivista Del Nuovo Cimento 7, no. 2 (1977): 187-214.

脚注