丢番图¶

备注

对于专注于解决丢番图方程的初学者友好指南，请参阅代数求解丢番图方程。

丢番图方程¶

“丢番图”一词源自于丢番图，一位生活在公元250年左右亚历山大城的数学家。他常被称为“代数之父”，在其著名著作《算术》中提出了150个问题，标志着数论领域的早期开端，该领域研究整数及其性质。丢番图方程在数论中起着核心且重要的作用。

我们将形如 \(f(x_1, x_2, \ldots x_n) = 0\) 的方程称为“丢番图方程”，其中 \(n \geq 2\) 且 \(x_1, x_2, \ldots x_n\) 是整数变量。如果我们能找到 \(n\) 个整数 \(a_1, a_2, \ldots a_n\) 使得 \(x_1 = a_1, x_2 = a_2, \ldots x_n = a_n\) 满足上述方程，我们称该方程是可解的。你可以在 [1] 和 [2] 中阅读更多关于丢番图方程的内容。

目前，可以使用 diophantine() 以及丢番图模块的其他辅助函数来求解以下五种类型的丢番图方程。

线性丢番图方程：\(a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n = b\)。
一般二元二次方程：\(ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\)
齐次三元二次方程：\(ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + eyz + fzx = 0\)
扩展的毕达哥拉斯方程：\(a_{1}x_{1}^2 + a_{2}x_{2}^2 + \ldots + a_{n}x_{n}^2 = a_{n+1}x_{n+1}^2\)
一般平方和：\(x_{1}^2 + x_{2}^2 + \ldots + x_{n}^2 = k\)

模块结构¶

此模块包含 diophantine() 和用于求解某些丢番图方程所需的辅助函数。其结构如下。

diophantine()
- diop_solve()
  - classify_diop()
  - diop_linear()
  - diop_quadratic()
  - diop_ternary_quadratic()
  - diop_ternary_quadratic_normal()
  - diop_general_pythagorean()
  - diop_general_sum_of_squares()
  - diop_general_sum_of_even_powers()
- merge_solution()

当一个方程被传递给 diophantine() 时，它会尝试分解方程（如果可能的话），并通过分别调用 diop_solve() 来求解每个因子给出的方程。然后，所有结果通过 merge_solution() 合并。

diop_solve() 内部使用 classify_diop() 来确定给定方程的类型（以及一些其他细节），然后根据返回的类型调用适当的求解函数。例如，如果 classify_diop() 返回方程类型为“线性”，那么 diop_solve() 将调用 diop_linear() 来求解方程。

每个函数，diop_linear()、diop_quadratic()、diop_ternary_quadratic()、diop_general_pythagorean() 和 diop_general_sum_of_squares()，都解决了一种特定类型的方程，其类型可以通过函数名称轻松猜测。

除了这些功能之外，“Diophantine 模块”中还有相当多的其他功能，所有这些功能都列在用户功能和内部功能下。

教程¶

首先，让我们导入 Diophantine 模块的最高 API。

>>> from sympy.solvers.diophantine import diophantine

在我们开始解方程之前，我们需要定义变量。

>>> from sympy import symbols
>>> x, y, z = symbols("x, y, z", integer=True)

让我们从解决最简单的丢番图方程类型开始，即线性丢番图方程。让我们解 \(2x + 3y = 5\)。注意，尽管我们在上面以这种形式写出方程，但当我们将其输入到丢番图模块中的任何函数时，它需要以 \(eq = 0\) 的形式输入。

>>> diophantine(2*x + 3*y - 5)
{(3*t_0 - 5, 5 - 2*t_0)}

请注意，在最高API的下一级，我们可以通过调用 diop_solve() 来解决完全相同的方程。

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import diop_solve
>>> diop_solve(2*x + 3*y - 5)
(3*t_0 - 5, 5 - 2*t_0)

注意它返回的是一个元组而不是一个集合。diophantine() 总是返回一个元组集合。但是 diop_solve() 可能返回一个单独的元组或一个元组集合，这取决于给定方程的类型。

我们也可以通过调用 diop_linear() 来解决这个方程，这是 diop_solve() 在内部调用的方法。

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import diop_linear
>>> diop_linear(2*x + 3*y - 5)
(3*t_0 - 5, 5 - 2*t_0)

如果给定的方程没有解，那么输出将如下所示。

>>> diophantine(2*x + 4*y - 3)
set()
>>> diop_solve(2*x + 4*y - 3)
(None, None)
>>> diop_linear(2*x + 4*y - 3)
(None, None)

请注意，除了最高级别的API外，在没有解决方案的情况下，将返回一个包含 \(None\) 的元组。元组的大小与变量的数量相同。此外，可以通过传递自定义参数来专门设置解决方案中使用的参数。考虑以下示例：

>>> m = symbols("m", integer=True)
>>> diop_solve(2*x + 3*y - 5, m)
(3*m_0 - 5, 5 - 2*m_0)

对于线性丢番图方程，自定义参数是用于解中每个自由变量的前缀。考虑以下示例：

>>> diop_solve(2*x + 3*y - 5*z + 7, m)
(m_0, m_0 + 5*m_1 - 14, m_0 + 3*m_1 - 7)

在上述解决方案中，m_0 和 m_1 是独立的自由变量。

请注意，目前用户只能为线性丢番图方程和二元二次方程设置参数。

让我们尝试解决一个二元二次方程，这是一个具有两个变量且次数为二的方程。在尝试解决这些方程之前，了解与方程相关的各种情况会非常有帮助。请参考 [3] 和 [4] 以获取不同情况和解的性质的详细分析。让我们定义 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 相对于二元二次方程 \(ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\)。

当 \(\Delta < 0\) 时，可能没有解或只有有限个解。

>>> diophantine(x**2 - 4*x*y + 8*y**2 - 3*x + 7*y - 5)
{(2, 1), (5, 1)}

在上式中，\(\Delta = (-4)^2 - 4*1*8 = -16\)，因此只存在有限个解。

当 \(\Delta = 0\) 时，我们可能既没有解，也可能有参数化解。

>>> diophantine(3*x**2 - 6*x*y + 3*y**2 - 3*x + 7*y - 5)
set()
>>> diophantine(x**2 - 4*x*y + 4*y**2 - 3*x + 7*y - 5)
{(-2*t**2 - 7*t + 10, -t**2 - 3*t + 5)}
>>> diophantine(x**2 + 2*x*y + y**2 - 3*x - 3*y)
{(t_0, -t_0), (t_0, 3 - t_0)}

最有趣的例子是当 \(\Delta > 0\) 且它不是一个完全平方数时。在这种情况下，方程要么没有解，要么有无限多个解。考虑以下 \(\Delta = 8\) 的情况。

>>> diophantine(x**2 - 4*x*y + 2*y**2 - 3*x + 7*y - 5)
set()
>>> from sympy import sqrt
>>> n = symbols("n", integer=True)
>>> s = diophantine(x**2 -  2*y**2 - 2*x - 4*y, n)
>>> x_1, y_1 = s.pop()
>>> x_2, y_2 = s.pop()
>>> x_n = -(-2*sqrt(2) + 3)**n/2 + sqrt(2)*(-2*sqrt(2) + 3)**n/2 - sqrt(2)*(2*sqrt(2) + 3)**n/2 - (2*sqrt(2) + 3)**n/2 + 1
>>> x_1 == x_n or x_2 == x_n
True
>>> y_n = -sqrt(2)*(-2*sqrt(2) + 3)**n/4 + (-2*sqrt(2) + 3)**n/2 + sqrt(2)*(2*sqrt(2) + 3)**n/4 + (2*sqrt(2) + 3)**n/2 - 1
>>> y_1 == y_n or y_2 == y_n
True

这里 \(n\) 是一个整数。尽管 x_n 和 y_n 可能看起来不像整数，但将特定值代入 n（并简化）表明它们确实是。例如，考虑以下示例，我们将 n 设为 9。

>>> from sympy import simplify
>>> simplify(x_n.subs({n: 9}))
-9369318

任何形式的二元二次方程 \(ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\) 都可以被转换为等价形式 \(X^2 - DY^2 = N\)。

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import find_DN, diop_DN, transformation_to_DN
>>> find_DN(x**2 - 3*x*y + y**2 - 7*x + 5*y - 3)
(5, 920)

因此，上述方程在经过线性变换后等价于方程 \(X^2 - 5Y^2 = 920\)。如果我们想要找到这个线性变换，我们可以使用 transformation_to_DN()。

>>> A, B = transformation_to_DN(x**2 - 3*x*y + y**2 - 7*x + 5*y - 3)

这里 A 是一个 2 X 2 的矩阵，B 是一个 2 X 1 的矩阵，使得变换

\[\begin{split}\begin{bmatrix} X\\Y \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} + B\end{split}\]

给出方程 \(X^2 -5Y^2 = 920\)。\(A\) 和 \(B\) 的值如下。

>>> A
Matrix([
[1/10, 3/10],
[   0,  1/5]])
>>> B
Matrix([
[  1/5],
[-11/5]])

我们可以通过传递 \(D\) 和 \(N\) 给 diop_DN() 来解形如 \(X^2 - DY^2 = N\) 的方程。

>>> diop_DN(5, 920)
[]

不幸的是，我们的方程没有解。

现在让我们转向齐次三元二次方程。这些方程的形式为 \(ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + eyz + fzx = 0\)。这类方程要么有无限多的解，要么没有解（除了明显的解 (0, 0, 0)）

>>> diophantine(3*x**2 + 4*y**2 - 5*z**2 + 4*x*y + 6*y*z + 7*z*x)
{(0, 0, 0)}
>>> diophantine(3*x**2 + 4*y**2 - 5*z**2 + 4*x*y - 7*y*z + 7*z*x)
{(-16*p**2 + 28*p*q + 20*q**2, 3*p**2 + 38*p*q - 25*q**2, 4*p**2 - 24*p*q + 68*q**2)}

如果你只对一个基础解感兴趣，而不是参数化的通解（更准确地说，是通解之一），你可以使用 diop_ternary_quadratic()。

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import diop_ternary_quadratic
>>> diop_ternary_quadratic(3*x**2 + 4*y**2 - 5*z**2 + 4*x*y - 7*y*z + 7*z*x)
(-4, 5, 1)

diop_ternary_quadratic() 首先将给定的方程转换为等价的 \(w^2 = AX^2 + BY^2\) 形式的方程，然后使用 descent() 来求解后者。你可以参考 transformation_to_normal() 的文档来了解更多关于此的内容。通过使用上述的 descent()，方程 \(w^2 = AX^2 + BY^2\) 可以更容易地求解。

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import descent
>>> descent(3, 1) # solves the equation w**2 = 3*Y**2 + Z**2
(1, 0, 1)

这里解决方案元组按顺序为 (w, Y, Z)

扩展的勾股方程，\(a_{1}x_{1}^2 + a_{2}x_{2}^2 + \ldots + a_{n}x_{n}^2 = a_{n+1}x_{n+1}^2\) 和一般的平方和方程，\(x_{1}^2 + x_{2}^2 + \ldots + x_{n}^2 = k\) 也可以使用Diophantine模块来求解。

>>> from sympy.abc import a, b, c, d, e, f
>>> diophantine(9*a**2 + 16*b**2 + c**2 + 49*d**2 + 4*e**2 - 25*f**2)
{(70*t1**2 + 70*t2**2 + 70*t3**2 + 70*t4**2 - 70*t5**2, 105*t1*t5, 420*t2*t5, 60*t3*t5, 210*t4*t5, 42*t1**2 + 42*t2**2 + 42*t3**2 + 42*t4**2 + 42*t5**2)}

函数 diop_general_pythagorean() 也可以直接调用来解决相同的方程。你可以调用 diop_general_pythagorean() 或者使用高级API。对于一般的平方和，这也是成立的，但调用 diop_general_sum_of_squares() 的一个优势是你可以控制返回多少个解。

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import diop_general_sum_of_squares
>>> eq = a**2 + b**2 + c**2 + d**2 - 18
>>> diophantine(eq)
{(0, 0, 3, 3), (0, 1, 1, 4), (1, 2, 2, 3)}
>>> diop_general_sum_of_squares(eq, 2)
{(0, 0, 3, 3), (1, 2, 2, 3)}

该 sum_of_squares() 例程将提供一个迭代器，返回解，并且可以控制解是否包含零（不包含零的解首先返回）：

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import sum_of_squares
>>> sos = sum_of_squares(18, 4, zeros=True)
>>> next(sos)
(1, 2, 2, 3)
>>> next(sos)
(0, 0, 3, 3)

简单的埃及分数也可以通过Diophantine模块找到。例如，以下是可能将1/2表示为两个单位分数之和的方法：

>>> from sympy import Eq, S
>>> diophantine(Eq(1/x + 1/y, S(1)/2))
{(-2, 1), (1, -2), (3, 6), (4, 4), (6, 3)}

要更深入地理解 Diophantine 模块，请参考以下博客。

https://thilinaatsympy.wordpress.com/

参考文献¶

用户功能¶

此函数通过 from sympy import * 导入到全局命名空间中：

sympy.solvers.diophantine.diophantine.diophantine(eq, param=t, syms=None, permute=False)[源代码][源代码]¶

通过将丢番图方程 eq 转换为等于零的项的乘积，简化其求解过程。

参见

diop_solve
sympy.utilities.iterables.permute_signs
sympy.utilities.iterables.signed_permutations

示例

>>> from sympy import diophantine
>>> from sympy.abc import a, b
>>> eq = a**4 + b**4 - (2**4 + 3**4)
>>> diophantine(eq)
{(2, 3)}
>>> diophantine(eq, permute=True)
{(-3, -2), (-3, 2), (-2, -3), (-2, 3), (2, -3), (2, 3), (3, -2), (3, 2)}

>>> from sympy.abc import x, y, z
>>> diophantine(x**2 - y**2)
{(t_0, -t_0), (t_0, t_0)}

>>> diophantine(x*(2*x + 3*y - z))
{(0, n1, n2), (t_0, t_1, 2*t_0 + 3*t_1)}
>>> diophantine(x**2 + 3*x*y + 4*x)
{(0, n1), (-3*t_0 - 4, t_0)}

并且这个函数是通过 from sympy.solvers.diophantine import * 导入的：

sympy.solvers.diophantine.diophantine.classify_diop(eq, _dict=True)[源代码][源代码]¶

内部函数¶

这些函数旨在在 Diophantine 模块中内部使用。

sympy.solvers.diophantine.diophantine.base_solution_linear(c, a, b, t=None)[源代码][源代码]¶

返回线性方程 \(ax + by = c\) 的基本解。

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import base_solution_linear
>>> from sympy.abc import t
>>> base_solution_linear(5, 2, 3) # equation 2*x + 3*y = 5
(-5, 5)
>>> base_solution_linear(0, 5, 7) # equation 5*x + 7*y = 0
(0, 0)
>>> base_solution_linear(5, 2, 3, t) # equation 2*x + 3*y = 5
(3*t - 5, 5 - 2*t)
>>> base_solution_linear(0, 5, 7, t) # equation 5*x + 7*y = 0
(7*t, -5*t)

sympy.solvers.diophantine.diophantine.cornacchia( a: int, b: int, m: int, ) → set[tuple[int, int]][源代码][源代码]¶

解决 \(ax^2 + by^2 = m\) 其中 \(\gcd(a, b) = 1 = \gcd(a, m)\) 且 \(a, b > 0\)。

参见

sympy.utilities.iterables.signed_permutations

参考文献

[1]

Nitaj, “L’algorithme de Cornacchia”

[2]

通过Cornacchia方法求解丢番图方程 ax**2 + by**2 = m，[在线]，可获取地址: http://www.numbertheory.org/php/cornacchia.html

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import cornacchia
>>> cornacchia(2, 3, 35) # equation 2x**2 + 3y**2 = 35
{(2, 3), (4, 1)}
>>> cornacchia(1, 1, 25) # equation x**2 + y**2 = 25
{(4, 3)}

sympy.solvers.diophantine.diophantine.transformation_to_normal(eq)[源代码][源代码]¶: 返回将一般三元二次方程 eq (\(ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + eyz + fxz\)) 转换为无交叉项形式 \(ax^2 + by^2 + cz^2 = 0\) 的变换矩阵。这并不用于求解三元二次方程；它仅是为了完整性而实现的。

sympy.solvers.diophantine.diophantine.diop_ternary_quadratic(eq, parameterize=False)[源代码][源代码]¶

求解一般二次三元形式，\(ax^2 + by^2 + cz^2 + fxy + gyz + hxz = 0\)。

返回一个元组 \((x, y, z)\)，这是上述方程的一个基本解。如果没有解，则返回 \((None, None, None)\)。

示例

>>> from sympy.abc import x, y, z
>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import diop_ternary_quadratic
>>> diop_ternary_quadratic(x**2 + 3*y**2 - z**2)
(1, 0, 1)
>>> diop_ternary_quadratic(4*x**2 + 5*y**2 - z**2)
(1, 0, 2)
>>> diop_ternary_quadratic(45*x**2 - 7*y**2 - 8*x*y - z**2)
(28, 45, 105)
>>> diop_ternary_quadratic(x**2 - 49*y**2 - z**2 + 13*z*y -8*x*y)
(9, 1, 5)

sympy.solvers.diophantine.diophantine.square_factor(a)[源代码][源代码]¶

返回一个整数 \(c\)，使得 \(a = c^2k, \ c,k \in Z\)。其中 \(k\) 是无平方因子。\(a\) 可以是一个整数或一个因子字典。

参见

sympy.ntheory.factor_.core

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import square_factor
>>> square_factor(24)
2
>>> square_factor(-36*3)
6
>>> square_factor(1)
1
>>> square_factor({3: 2, 2: 1, -1: 1})  # -18
3

sympy.solvers.diophantine.diophantine.descent(A, B)[源代码][源代码]¶

使用带有格基约化的拉格朗日下降法返回非平凡解 (x, y, z) 给 \(x^2 = Ay^2 + Bz^2\)。假设 \(A\) 和 \(B\) 对于存在这样的解是有效的。

这比普通的拉格朗日下降算法更快，因为使用了高斯消元法。

参考文献

[1]

Cremona, J. E., Rusin, D. (2003). 有理二次曲线的有效解法。计算数学，72(243)，1417-1441。https://doi.org/10.1090/S0025-5718-02-01480-1

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import descent
>>> descent(3, 1) # x**2 = 3*y**2 + z**2
(1, 0, 1)

\((x, y, z) = (1, 0, 1)\) 是上述方程的一个解。

>>> descent(41, -113)
(-16, -3, 1)

sympy.solvers.diophantine.diophantine.diop_general_pythagorean(eq, param=m)[源代码][源代码]¶

解决一般勾股方程，\(a_{1}^2x_{1}^2 + a_{2}^2x_{2}^2 + . . . + a_{n}^2x_{n}^2 - a_{n + 1}^2x_{n + 1}^2 = 0\)。

返回一个元组，其中包含方程的参数化解，按与输入变量相同的顺序排序。

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import diop_general_pythagorean
>>> from sympy.abc import a, b, c, d, e
>>> diop_general_pythagorean(a**2 + b**2 + c**2 - d**2)
(m1**2 + m2**2 - m3**2, 2*m1*m3, 2*m2*m3, m1**2 + m2**2 + m3**2)
>>> diop_general_pythagorean(9*a**2 - 4*b**2 + 16*c**2 + 25*d**2 + e**2)
(10*m1**2  + 10*m2**2  + 10*m3**2 - 10*m4**2, 15*m1**2  + 15*m2**2  + 15*m3**2  + 15*m4**2, 15*m1*m4, 12*m2*m4, 60*m3*m4)

sympy.solvers.diophantine.diophantine.diop_general_sum_of_squares(eq, limit=1)[源代码][源代码]¶

求解方程 \(x_{1}^2 + x_{2}^2 + . . . + x_{n}^2 - k = 0\)。

最多返回 limit 个解决方案。

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import diop_general_sum_of_squares
>>> from sympy.abc import a, b, c, d, e
>>> diop_general_sum_of_squares(a**2 + b**2 + c**2 + d**2 + e**2 - 2345)
{(15, 22, 22, 24, 24)}

sympy.solvers.diophantine.diophantine.diop_general_sum_of_even_powers(eq, limit=1)[源代码][源代码]¶

求解方程 \(x_{1}^e + x_{2}^e + . . . + x_{n}^e - k = 0\) 其中 \(e\) 是一个偶数整数次幂。

最多返回 limit 个解决方案。

参见

power_representation

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import diop_general_sum_of_even_powers
>>> from sympy.abc import a, b
>>> diop_general_sum_of_even_powers(a**4 + b**4 - (2**4 + 3**4))
{(2, 3)}

sympy.solvers.diophantine.diophantine.power_representation(n, p, k, zeros=False)[源代码][源代码]¶

返回一个生成器，用于查找整数的 k-元组 \((n_{1}, n_{2}, . . . n_{k})\)，使得 \(n = n_{1}^p + n_{2}^p + . . . n_{k}^p\)。

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import power_representation

将 1729 表示为两个立方之和：

>>> f = power_representation(1729, 3, 2)
>>> next(f)
(9, 10)
>>> next(f)
(1, 12)

如果标志 \(zeros\) 为 True，解可能包含带有零的元组；任何此类解将在不带零的解之后生成：

>>> list(power_representation(125, 2, 3, zeros=True))
[(5, 6, 8), (3, 4, 10), (0, 5, 10), (0, 2, 11)]

对于偶数 \(p\)，可以使用 \(permute_sign\) 函数来获取所有带符号的值：

>>> from sympy.utilities.iterables import permute_signs
>>> list(permute_signs((1, 12)))
[(1, 12), (-1, 12), (1, -12), (-1, -12)]

所有可能的带符号排列也可以获得：

>>> from sympy.utilities.iterables import signed_permutations
>>> list(signed_permutations((1, 12)))
[(1, 12), (-1, 12), (1, -12), (-1, -12), (12, 1), (-12, 1), (12, -1), (-12, -1)]

sympy.solvers.diophantine.diophantine.partition(n, k=None, zeros=False)[源代码][源代码]¶

返回一个生成器，可用于生成整数 \(n\) 的分区。

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import partition
>>> f = partition(5)
>>> next(f)
(1, 1, 1, 1, 1)
>>> next(f)
(1, 1, 1, 2)
>>> g = partition(5, 3)
>>> next(g)
(1, 1, 3)
>>> next(g)
(1, 2, 2)
>>> g = partition(5, 3, zeros=True)
>>> next(g)
(0, 0, 5)

sympy.solvers.diophantine.diophantine.sum_of_three_squares(n)[源代码][源代码]¶

返回一个三元组 \((a, b, c)\)，使得 \(a^2 + b^2 + c^2 = n\) 且 \(a, b, c \geq 0\)。

如果存在 \(a, m \in \mathbb{Z}\) 使得 \(n = 4^a(8m + 7)\)，则返回 None。详见 [1]。

参数:

n整数: 非负整数

返回:

(int, int, int) | None : 满足 a**2 + b**2 + c**2 = n 的非负整数三元组 (a, b, c)。3-元组非负整数: a,b,c 按升序排列。如果没有这样的 (a,b,c)，则为 None。

Raises:

ValueError: 如果 n 是一个负整数

参见

power_representation: sum_of_three_squares(n) 是 power_representation(n, 2, 3, zeros=True) 输出的解决方案之一。

参考文献

[1]

将一个数表示为三个平方数的和，[在线]，可用链接: https://schorn.ch/lagrange.html

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import sum_of_three_squares
>>> sum_of_three_squares(44542)
(18, 37, 207)

sympy.solvers.diophantine.diophantine.sum_of_four_squares(n)[源代码][源代码]¶

返回一个4元组 \((a, b, c, d)\)，使得 \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = n\)。其中 \(a, b, c, d \geq 0\)。

参数:

n整数: 非负整数

返回:

(int, int, int, int) : 4 元组非负整数 (a, b, c, d) 满足 a**2 + b**2 + c**2 + d**2 = n。4元组非负整数: a,b,c,d 按升序排列。

Raises:

ValueError: 如果 n 是一个负整数

参见

power_representation: sum_of_four_squares(n) 是 power_representation(n, 2, 4, zeros=True) 输出的解决方案之一。

参考文献

[1]

将一个数表示为四个平方和，[在线]，可用：https://schorn.ch/lagrange.html

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import sum_of_four_squares
>>> sum_of_four_squares(3456)
(8, 8, 32, 48)
>>> sum_of_four_squares(1294585930293)
(0, 1234, 2161, 1137796)

sympy.solvers.diophantine.diophantine.sum_of_powers(n, p, k, zeros=False)[源代码]¶

返回一个生成器，用于查找整数的 k-元组 \((n_{1}, n_{2}, . . . n_{k})\)，使得 \(n = n_{1}^p + n_{2}^p + . . . n_{k}^p\)。

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import power_representation

将 1729 表示为两个立方之和：

>>> f = power_representation(1729, 3, 2)
>>> next(f)
(9, 10)
>>> next(f)
(1, 12)

如果标志 \(zeros\) 为 True，解可能包含带有零的元组；任何此类解将在不带零的解之后生成：

>>> list(power_representation(125, 2, 3, zeros=True))
[(5, 6, 8), (3, 4, 10), (0, 5, 10), (0, 2, 11)]

对于偶数 \(p\)，可以使用 \(permute_sign\) 函数来获取所有带符号的值：

>>> from sympy.utilities.iterables import permute_signs
>>> list(permute_signs((1, 12)))
[(1, 12), (-1, 12), (1, -12), (-1, -12)]

所有可能的带符号排列也可以获得：

>>> from sympy.utilities.iterables import signed_permutations
>>> list(signed_permutations((1, 12)))
[(1, 12), (-1, 12), (1, -12), (-1, -12), (12, 1), (-12, 1), (12, -1), (-12, -1)]

sympy.solvers.diophantine.diophantine.sum_of_squares(n, k, zeros=False)[源代码][源代码]¶

返回一个生成器，该生成器生成非负值的 k-元组，其平方和为 n。如果 zeros 为 False（默认），则解决方案将不包含零。元组中的非负元素按顺序排列。

如果 k == 1 且 n 是平方数，则返回 (n,)。
如果 k == 2，那么 n 只能写成平方和的形式，如果 n 的因数分解中所有形式为 4*k + 3 的素数都有偶数次幂。如果 n 是素数，那么它只能写成两个平方和的形式，如果它是 4*k + 1 的形式。
如果 k == 3，那么 n 可以写成平方和的形式，如果它不具有 4**m*(8*k + 7) 的形式。
所有整数都可以写成四个平方的和。
如果 k > 4，那么 n 可以被划分，并且每个部分可以写成 4 个平方的和；如果 n 不能被 4 整除，那么 n 只能写成平方和，如果可以写成额外的部分的平方和。例如，如果 k = 6，那么 n 被分成两部分，第一部分写成 4 个平方的和，第二部分写成 2 个平方的和——这只有在满足上述 k = 2 的条件时才能做到，因此这将自动拒绝 n 的某些划分。

参见

sympy.utilities.iterables.signed_permutations

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import sum_of_squares
>>> list(sum_of_squares(25, 2))
[(3, 4)]
>>> list(sum_of_squares(25, 2, True))
[(3, 4), (0, 5)]
>>> list(sum_of_squares(25, 4))
[(1, 2, 2, 4)]

sympy.solvers.diophantine.diophantine.merge_solution(var, var_t, solution)[源代码][源代码]¶: 这用于从子方程的解中构建完整解。

sympy.solvers.diophantine.diophantine.divisible(a, b)[源代码][源代码]¶: 如果 a 能被 b 整除则返回 \(True\)，否则返回 \(False\)。

sympy.solvers.diophantine.diophantine.PQa(P_0, Q_0, D)[源代码][源代码]¶

返回解决佩尔方程所需的有用信息。

参考文献

[1]

解决广义Pell方程 x^2 - Dy^2 = N，John P. Robertson，2004年7月31日，第4 - 8页。https://web.archive.org/web/20160323033128/http://www.jpr2718.org/pell.pdf

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import PQa
>>> pqa = PQa(13, 4, 5) # (13 + sqrt(5))/4
>>> next(pqa) # (P_0, Q_0, a_0, A_0, B_0, G_0)
(13, 4, 3, 3, 1, -1)
>>> next(pqa) # (P_1, Q_1, a_1, A_1, B_1, G_1)
(-1, 1, 1, 4, 1, 3)

sympy.solvers.diophantine.diophantine.equivalent(u, v, r, s, D, N)[源代码][源代码]¶

如果两个解 \((u, v)\) 和 \((r, s)\) 属于 \(x^2 - Dy^2 = N\) 的同一等价类，则返回 True，否则返回 False。

参考文献

[1]

解决广义Pell方程 x**2 - D*y**2 = N，John P. Robertson，2004年7月31日，第12页。https://web.archive.org/web/20160323033128/http://www.jpr2718.org/pell.pdf

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import equivalent
>>> equivalent(18, 5, -18, -5, 13, -1)
True
>>> equivalent(3, 1, -18, 393, 109, -4)
False

sympy.solvers.diophantine.diophantine.parametrize_ternary_quadratic(eq)[源代码][源代码]¶

返回三元二次方程 eq 的参数化通解，其形式为 \(ax^2 + by^2 + cz^2 + fxy + gyz + hxz = 0\)。

注释

考虑在前面的2参数解决方案中的 p 和 q ，并观察到给定的一对参数可以表示多个解决方案。如果 \(p\) 和 q 不是互质的，这是显而易见的，因为公因子也将是解值的公因子。但即使 p 和 q 是互质的，这也可能是真的：

>>> sol = Tuple(*_)
>>> p, q = ordered(sol.free_symbols)
>>> sol.subs([(p, 3), (q, 2)])
(6, 12, 12)
>>> sol.subs([(q, 1), (p, 1)])
(-1, 2, 2)
>>> sol.subs([(q, 0), (p, 1)])
(2, -4, 4)
>>> sol.subs([(q, 1), (p, 0)])
(-3, -6, 6)

除了符号和一个公因子外，这些等价于 (1, 2, 2) 的解。

参考文献

[1]

Diophantine方程的算法解法，Nigel P. Smart，伦敦数学学会学生教材41，剑桥大学出版社，剑桥，1998年。

示例

>>> from sympy import Tuple, ordered
>>> from sympy.abc import x, y, z
>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import parametrize_ternary_quadratic

参数化解决方案可能返回三个参数：

>>> parametrize_ternary_quadratic(2*x**2 + y**2 - 2*z**2)
(p**2 - 2*q**2, -2*p**2 + 4*p*q - 4*p*r - 4*q**2, p**2 - 4*p*q + 2*q**2 - 4*q*r)

也可能只有两个参数：

>>> parametrize_ternary_quadratic(4*x**2 + 2*y**2 - 3*z**2)
(2*p**2 - 3*q**2, -4*p**2 + 12*p*q - 6*q**2, 4*p**2 - 8*p*q + 6*q**2)

sympy.solvers.diophantine.diophantine.diop_ternary_quadratic_normal( eq, parameterize=False, )[源代码][源代码]¶

求解二次三元丢番图方程，\(ax^2 + by^2 + cz^2 = 0\)。

示例

>>> from sympy.abc import x, y, z
>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import diop_ternary_quadratic_normal
>>> diop_ternary_quadratic_normal(x**2 + 3*y**2 - z**2)
(1, 0, 1)
>>> diop_ternary_quadratic_normal(4*x**2 + 5*y**2 - z**2)
(1, 0, 2)
>>> diop_ternary_quadratic_normal(34*x**2 - 3*y**2 - 301*z**2)
(4, 9, 1)

sympy.solvers.diophantine.diophantine.ldescent(A, B)[源代码][源代码]¶

使用拉格朗日方法返回 \(w^2 = Ax^2 + By^2\) 的一个非平凡解；如果没有这样的解，则返回 None。

参数:

A整数
B整数: 非零整数

返回:

(int, int, int) | None : 一个元组 \((w_0, x_0, y_0)\)，它是上述方程的解。一个元组

参考文献

[1]

Diophantine方程的算法解法，Nigel P. Smart，伦敦数学学会学生教材41，剑桥大学出版社，剑桥，1998年。

[2]

Cremona, J. E., Rusin, D. (2003). 有理二次曲线的有效解法。计算数学，72(243)，1417-1441。https://doi.org/10.1090/S0025-5718-02-01480-1

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import ldescent
>>> ldescent(1, 1) # w^2 = x^2 + y^2
(1, 1, 0)
>>> ldescent(4, -7) # w^2 = 4x^2 - 7y^2
(2, -1, 0)

这意味着 \(x = -1, y = 0\) 和 \(w = 2\) 是方程 \(w^2 = 4x^2 - 7y^2\) 的一个解。

>>> ldescent(5, -1) # w^2 = 5x^2 - y^2
(2, 1, -1)

sympy.solvers.diophantine.diophantine.gaussian_reduce( w: int, a: int, b: int, ) → tuple[int, int][源代码][源代码]¶

返回同余式 \(X^2 - aZ^2 \equiv 0 \pmod{b}\) 的一个简化解 \((x, z)\)，使得 \(x^2 + |a|z^2\) 尽可能小。这里 w 是同余式 \(x^2 \equiv a \pmod{b}\) 的一个解。

此函数仅用于 descent()。

参数:

w整数: w 使得 \(w^2 \equiv a \pmod{b}\)
a整数: 无平方因子的非零整数
b整数: 无平方因子的非零整数

参考文献

[1]

高斯格基约化 [在线]。可用链接: https://web.archive.org/web/20201021115213/http://home.ie.cuhk.edu.hk/~wkshum/wordpress/?p=404

[2]

Cremona, J. E., Rusin, D. (2003). 有理二次曲线的有效解法。计算数学，72(243)，1417-1441。https://doi.org/10.1090/S0025-5718-02-01480-1

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import gaussian_reduce
>>> from sympy.ntheory.residue_ntheory import sqrt_mod
>>> a, b = 19, 101
>>> gaussian_reduce(sqrt_mod(a, b), a, b) # 1**2 - 19*(-4)**2 = -303
(1, -4)
>>> a, b = 11, 14
>>> x, z = gaussian_reduce(sqrt_mod(a, b), a, b)
>>> (x**2 - a*z**2) % b == 0
True

它并不总是返回最小的解决方案。

>>> a, b = 6, 95
>>> min_x, min_z = 1, 4
>>> x, z = gaussian_reduce(sqrt_mod(a, b), a, b)
>>> (x**2 - a*z**2) % b == 0 and (min_x**2 - a*min_z**2) % b == 0
True
>>> min_x**2 + abs(a)*min_z**2 < x**2 + abs(a)*z**2
True

sympy.solvers.diophantine.diophantine.holzer(x, y, z, a, b, c)[源代码][源代码]¶

简化方程 \(ax^2 + by^2 = cz^2\) 的解 \((x, y, z)\)，其中 \(a, b, c > 0\) 且 \(z^2 \geq \mid ab \mid\)，得到一个新的简化解 \((x', y', z')\)，使得 \(z'^2 \leq \mid ab \mid\)。

该算法是对Mordell的简化方法的解释，如Cremona和Rusin的论文[R46b3645dda18-1]_第8页所述，以及参考文献[R46b3645dda18-2]_中Mordell的工作。

参考文献

[1]

Cremona, J. E., Rusin, D. (2003). 有理二次曲线的有效解法。计算数学，72(243)，1417-1441。https://doi.org/10.1090/S0025-5718-02-01480-1

[2]

丢番图方程，L. J. Mordell，第48页。

sympy.solvers.diophantine.diophantine.prime_as_sum_of_two_squares(p)[源代码][源代码]¶

将一个质数 \(p\) 表示为两个平方的唯一和；这只有在质数同余于 1 mod 4 时才能完成。

参数:

p整数: 一个模 4 余 1 的素数

返回:

(int, int) | None : 一对正整数 (x, y) 满足 x**2 + y**2 = p。一对正整数: 如果 p 不与 1 模 4 同余，则为 None。

Raises:

ValueError: 如果 p 不是质数

参见

sum_of_squares

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import prime_as_sum_of_two_squares
>>> prime_as_sum_of_two_squares(7)  # can't be done
>>> prime_as_sum_of_two_squares(5)
(1, 2)

sympy.solvers.diophantine.diophantine.reconstruct(A, B, z)[源代码][源代码]¶: 从方程的平方自由正规形式 \(a'*x^2 + b'*y^2 + c'*z^2\) 的解的 \(z\) 值中重建等价解 \(ax^2 + by^2 + cz^2\) 的 \(z\) 值，其中 \(a'\), \(b'\) 和 \(c'\) 是平方自由的且 \(gcd(a', b', c') == 1\)。

内部类¶

这些类旨在在 Diophantine 模块中内部使用。

class sympy.solvers.diophantine.diophantine.DiophantineSolutionSet(symbols_seq, parameters)[源代码][源代码]¶

特定丢番图方程的一组解的容器。

基本表示形式是一组元组，每个元组表示一个解决方案。

参数:

符号列表: 原始方程中的自由符号列表。
参数: 列表: 解决方案中使用的参数列表。

方法

`__call__`(*args)
`add`(solution)
`clear`	从该集合中移除所有元素。
`copy`	返回集合的浅拷贝。
`difference`	返回两个或更多集合的差集作为一个新集合。
`difference_update`	从此集合中移除另一个集合的所有元素。
`discard`	如果元素是集合的成员，则将其移除。
`intersection`	返回两个集合的交集作为一个新的集合。
`intersection_update`	更新一个集合，使其包含自身与另一个集合的交集。
`isdisjoint`	如果两个集合的交集为空，则返回 True。
`issubset`	报告另一个集合是否包含此集合。
`issuperset`	报告此集合是否包含另一个集合。
`pop`	移除并返回一个任意集合元素。
`remove`	从集合中移除一个元素；它必须是成员。
`symmetric_difference`	返回两个集合的对称差作为一个新集合。
`symmetric_difference_update`	用自身与另一个集合的对称差更新集合。
`union`	返回集合的并集作为一个新集合。
`update`(*solutions)

dict_iterator
subs

示例

添加解决方案：

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import DiophantineSolutionSet
>>> from sympy.abc import x, y, t, u
>>> s1 = DiophantineSolutionSet([x, y], [t, u])
>>> s1
set()
>>> s1.add((2, 3))
>>> s1.add((-1, u))
>>> s1
{(-1, u), (2, 3)}
>>> s2 = DiophantineSolutionSet([x, y], [t, u])
>>> s2.add((3, 4))
>>> s1.update(*s2)
>>> s1
{(-1, u), (2, 3), (3, 4)}

将解决方案转换为字典：

>>> list(s1.dict_iterator())
[{x: -1, y: u}, {x: 2, y: 3}, {x: 3, y: 4}]

替换值：

>>> s3 = DiophantineSolutionSet([x, y], [t, u])
>>> s3.add((t**2, t + u))
>>> s3
{(t**2, t + u)}
>>> s3.subs({t: 2, u: 3})
{(4, 5)}
>>> s3.subs(t, -1)
{(1, u - 1)}
>>> s3.subs(t, 3)
{(9, u + 3)}

在特定值处的评估。位置参数按照与参数相同的顺序给出：

>>> s3(-2, 3)
{(4, 1)}
>>> s3(5)
{(25, u + 5)}
>>> s3(None, 2)
{(t**2, t + 2)}

class sympy.solvers.diophantine.diophantine.DiophantineEquationType( equation, free_symbols=None, )[源代码][源代码]¶

特定丢番图方程类型的内部表示。

参数:

方程: 正在求解的丢番图方程。
自由符号列表（可选）: 正在求解的符号。

属性:

总学位: 方程中所有项的次数的最大值
同质: 方程是否包含一个0次项
homogeneous_order: 方程中是否包含任何作为求解符号的系数
维度: 正在求解的符号数量

方法

matches()

确定给定的方程是否可以匹配到特定的方程类型。

pre_solve
解决

matches()[源代码][源代码]¶: 确定给定的方程是否可以匹配到特定的方程类型。

class sympy.solvers.diophantine.diophantine.Univariate(equation, free_symbols=None)[源代码][源代码]¶

单变量丢番图方程的表示。

单变量丢番图方程是形如 \(a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^2 + .. + a_{n}x^n = 0\) 的方程，其中 \(a_{1}, a_{2}, ..a_{n}\) 是整数常数，\(x\) 是整数变量。

属性:

n_parameters
参数

方法

matches()

pre_solve
解决

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import Univariate
>>> from sympy.abc import x
>>> Univariate((x - 2)*(x - 3)**2).solve() # solves equation (x - 2)*(x - 3)**2 == 0
{(2,), (3,)}

class sympy.solvers.diophantine.diophantine.Linear(equation, free_symbols=None)[源代码][源代码]¶

线性丢番图方程的表示。

线性丢番图方程是形如 \(a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + .. + a_{n}x_{n} = 0\) 的方程，其中 \(a_{1}, a_{2}, ..a_{n}\) 是整数常数，\(x_{1}, x_{2}, ..x_{n}\) 是整数变量。

属性:

n_parameters
参数

方法

matches()

pre_solve
解决

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import Linear
>>> from sympy.abc import x, y, z
>>> l1 = Linear(2*x - 3*y - 5)
>>> l1.matches() # is this equation linear
True
>>> l1.solve() # solves equation 2*x - 3*y - 5 == 0
{(3*t_0 - 5, 2*t_0 - 5)}

这里 x = -3*t_0 - 5 且 y = -2*t_0 - 5

>>> Linear(2*x - 3*y - 4*z -3).solve()
{(t_0, 2*t_0 + 4*t_1 + 3, -t_0 - 3*t_1 - 3)}

class sympy.solvers.diophantine.diophantine.BinaryQuadratic(equation, free_symbols=None)[源代码][源代码]¶

二元二次丢番图方程的表示。

二元二次丢番图方程是形如 \(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\) 的方程，其中 \(A, B, C, D, E, F\) 是整数常数，\(x\) 和 \(y\) 是整数变量。

属性:

n_parameters
参数

方法

matches()

pre_solve
解决

参考文献

[1]

解决 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 的方法，[在线]，可访问：https://www.alpertron.com.ar/METHODS.HTM

[2]

求解方程 ax^2+ bxy + cy^2 + dx + ey + f= 0, [在线], 可获取: https://web.archive.org/web/20160323033111/http://www.jpr2718.org/ax2p.pdf

示例

>>> from sympy.abc import x, y
>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import BinaryQuadratic
>>> b1 = BinaryQuadratic(x**3 + y**2 + 1)
>>> b1.matches()
False
>>> b2 = BinaryQuadratic(x**2 + y**2 + 2*x + 2*y + 2)
>>> b2.matches()
True
>>> b2.solve()
{(-1, -1)}

class sympy.solvers.diophantine.diophantine.InhomogeneousTernaryQuadratic( equation, free_symbols=None, )[源代码][源代码]¶

非齐次三元二次型的表示。

目前没有为这种方程类型实现求解器。

属性:

n_parameters
参数

方法

matches()

pre_solve
解决

class sympy.solvers.diophantine.diophantine.HomogeneousTernaryQuadraticNormal( equation, free_symbols=None, )[源代码][源代码]¶

齐次三元二次正规丢番图方程的表示。

属性:

n_parameters
参数

方法

matches()

pre_solve
解决

示例

>>> from sympy.abc import x, y, z
>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import HomogeneousTernaryQuadraticNormal
>>> HomogeneousTernaryQuadraticNormal(4*x**2 - 5*y**2 + z**2).solve()
{(1, 2, 4)}

class sympy.solvers.diophantine.diophantine.HomogeneousTernaryQuadratic( equation, free_symbols=None, )[源代码][源代码]¶

齐次三元二次丢番图方程的表示。

属性:

n_parameters
参数

方法

matches()

pre_solve
解决

示例

>>> from sympy.abc import x, y, z
>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import HomogeneousTernaryQuadratic
>>> HomogeneousTernaryQuadratic(x**2 + y**2 - 3*z**2 + x*y).solve()
{(-1, 2, 1)}
>>> HomogeneousTernaryQuadratic(3*x**2 + y**2 - 3*z**2 + 5*x*y + y*z).solve()
{(3, 12, 13)}

class sympy.solvers.diophantine.diophantine.InhomogeneousGeneralQuadratic( equation, free_symbols=None, )[源代码][源代码]¶

非均匀一般二次型的表示。

目前没有为这种方程类型实现求解器。

属性:

n_parameters
参数

方法

matches()

pre_solve
解决

class sympy.solvers.diophantine.diophantine.HomogeneousGeneralQuadratic( equation, free_symbols=None, )[源代码][源代码]¶

同质一般二次型的表示。

目前没有为这种方程类型实现求解器。

属性:

n_parameters
参数

方法

matches()

pre_solve
解决

class sympy.solvers.diophantine.diophantine.GeneralSumOfSquares(equation, free_symbols=None)[源代码][源代码]¶

丢番图方程的表示

\(x_{1}^2 + x_{2}^2 + . . . + x_{n}^2 - k = 0\).

属性:

n_parameters
参数

方法

matches()

pre_solve
解决

参考文献

[1]

将一个整数表示为三个平方和，[在线]，可用：https://www.proofwiki.org/wiki/Integer_as_Sum_of_Three_Squares

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import GeneralSumOfSquares
>>> from sympy.abc import a, b, c, d, e
>>> GeneralSumOfSquares(a**2 + b**2 + c**2 + d**2 + e**2 - 2345).solve()
{(15, 22, 22, 24, 24)}

默认情况下只返回1个解决方案。使用 \(limit\) 关键字获取更多：

>>> sorted(GeneralSumOfSquares(a**2 + b**2 + c**2 + d**2 + e**2 - 2345).solve(limit=3))
[(15, 22, 22, 24, 24), (16, 19, 24, 24, 24), (16, 20, 22, 23, 26)]

class sympy.solvers.diophantine.diophantine.GeneralPythagorean(equation, free_symbols=None)[源代码][源代码]¶

一般勾股方程的表示形式，\(a_{1}^2x_{1}^2 + a_{2}^2x_{2}^2 + . . . + a_{n}^2x_{n}^2 - a_{n + 1}^2x_{n + 1}^2 = 0\)。

属性:

n_parameters
参数

方法

matches()

pre_solve
解决

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import GeneralPythagorean
>>> from sympy.abc import a, b, c, d, e, x, y, z, t
>>> GeneralPythagorean(a**2 + b**2 + c**2 - d**2).solve()
{(t_0**2 + t_1**2 - t_2**2, 2*t_0*t_2, 2*t_1*t_2, t_0**2 + t_1**2 + t_2**2)}
>>> GeneralPythagorean(9*a**2 - 4*b**2 + 16*c**2 + 25*d**2 + e**2).solve(parameters=[x, y, z, t])
{(-10*t**2 + 10*x**2 + 10*y**2 + 10*z**2, 15*t**2 + 15*x**2 + 15*y**2 + 15*z**2, 15*t*x, 12*t*y, 60*t*z)}

class sympy.solvers.diophantine.diophantine.CubicThue(equation, free_symbols=None)[源代码][源代码]¶

立方 Thue 丢番图方程的表示。

一个三次Thue丢番图方程是一个形如 \(f(x, y) = r\) 的三次多项式，其中 \(x\) 和 \(y\) 是整数，\(r\) 是有理数。

目前没有为这种方程类型实现求解器。

属性:

n_parameters
参数

方法

matches()

pre_solve
解决

示例

>>> from sympy.abc import x, y
>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import CubicThue
>>> c1 = CubicThue(x**3 + y**2 + 1)
>>> c1.matches()
True

class sympy.solvers.diophantine.diophantine.GeneralSumOfEvenPowers( equation, free_symbols=None, )[源代码][源代码]¶

丢番图方程的表示

\(x_{1}^e + x_{2}^e + . . . + x_{n}^e - k = 0\)

其中 \(e\) 是一个偶数、整数次幂。

属性:

n_parameters
参数

方法

matches()

pre_solve
解决

示例

>>> from sympy.solvers.diophantine.diophantine import GeneralSumOfEvenPowers
>>> from sympy.abc import a, b
>>> GeneralSumOfEvenPowers(a**4 + b**4 - (2**4 + 3**4)).solve()
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