PDE¶
用户功能¶
这些是使用 from sympy import * 导入到全局命名空间的函数。它们旨在供用户使用。
- sympy.solvers.pde.pde_separate(eq, fun, sep, strategy='mul')[源代码][源代码]¶
在偏微分方程中，通过加法或乘法分离方法分离变量。它试图重写方程，使得指定的变量出现在方程的另一侧，而不是与其他变量在同一侧。
- 参数:
eq – 偏微分方程
fun – 原始函数 F(x, y, z)
sep – 分离函数列表 [X(x), u(y, z)]
strategy – 分离策略。你可以选择加法分离（’add’）和乘法分离（’mul’），后者是默认选项。
示例
>>> from sympy import E, Eq, Function, pde_separate, Derivative as D >>> from sympy.abc import x, t >>> u, X, T = map(Function, 'uXT')
>>> eq = Eq(D(u(x, t), x), E**(u(x, t))*D(u(x, t), t)) >>> pde_separate(eq, u(x, t), [X(x), T(t)], strategy='add') [exp(-X(x))*Derivative(X(x), x), exp(T(t))*Derivative(T(t), t)]
>>> eq = Eq(D(u(x, t), x, 2), D(u(x, t), t, 2)) >>> pde_separate(eq, u(x, t), [X(x), T(t)], strategy='mul') [Derivative(X(x), (x, 2))/X(x), Derivative(T(t), (t, 2))/T(t)]
- sympy.solvers.pde.pde_separate_add(eq, fun, sep)[源代码][源代码]¶
用于搜索加性可分离解的辅助函数。
考虑一个包含两个自变量 x, y 和一个因变量 w 的方程，我们寻找两个依赖于不同参数的函数的乘积：
\(w(x, y, z) = X(x) + y(y, z)\)
示例
>>> from sympy import E, Eq, Function, pde_separate_add, Derivative as D >>> from sympy.abc import x, t >>> u, X, T = map(Function, 'uXT')
>>> eq = Eq(D(u(x, t), x), E**(u(x, t))*D(u(x, t), t)) >>> pde_separate_add(eq, u(x, t), [X(x), T(t)]) [exp(-X(x))*Derivative(X(x), x), exp(T(t))*Derivative(T(t), t)]
- sympy.solvers.pde.pde_separate_mul(eq, fun, sep)[源代码][源代码]¶
用于搜索乘法可分离解的辅助函数。
考虑一个包含两个自变量 x, y 和一个因变量 w 的方程，我们寻找两个依赖于不同参数的函数的乘积：
\(w(x, y, z) = X(x)*u(y, z)\)
示例
>>> from sympy import Function, Eq, pde_separate_mul, Derivative as D >>> from sympy.abc import x, y >>> u, X, Y = map(Function, 'uXY')
>>> eq = Eq(D(u(x, y), x, 2), D(u(x, y), y, 2)) >>> pde_separate_mul(eq, u(x, y), [X(x), Y(y)]) [Derivative(X(x), (x, 2))/X(x), Derivative(Y(y), (y, 2))/Y(y)]
- sympy.solvers.pde.pdsolve(
- eq,
- func=None,
- hint='default',
- dict=False,
- solvefun=None,
- **kwargs,
解决任何（支持的）类型的偏微分方程。
用法
pdsolve(eq, f(x,y), hint) -> 使用方法提示 hint 求解函数 f(x,y) 的偏微分方程 eq。
详情
eq可以是任何支持的偏微分方程（参见支持方法的 pde docstring）。这可以是一个等式，或者是一个表达式，假设其等于 0。
f(x,y)是一个关于两个变量的函数，其导数为变量构成了偏微分方程。在许多情况下，没有必要提供这个；它将被自动检测（如果无法检测到，则会引发错误）。
hint是你希望 pdsolve 使用的求解方法。classify_pde(eq, f(x,y)) 用于获取一个偏微分方程的所有可能提示。默认提示 ‘default’ 将使用 classify_pde() 返回的第一个提示。请参阅下面的 Hints 部分，了解更多可用于 hint 的选项。
solvefun是用于返回任意函数的约定。由PDE求解器设置。如果用户未设置，则默认设置为F。
提示
除了各种求解方法外，还有一些元提示可以传递给 pdsolve()：
- “默认”：
这使用 classify_pde() 返回的第一个提示。这是 pdsolve() 的默认参数。
- “全部”：
要使 pdsolve 应用所有相关的分类提示，请使用 pdsolve(PDE, func, hint=”all”)。这将返回一个包含提示:解决方案项的字典。如果某个提示导致 pdsolve 引发 NotImplementedError，该提示键的值将是引发的异常对象。该字典还将包含一些特殊键：
order: PDE 的阶数。另见 deutils.py 中的 ode_order()。
默认值：将返回的解决方案。这是由首先出现在 classify_pde() 返回的元组中的提示生成的。
all_Integral这与“all”相同，但如果提示也有相应的“_Integral”提示，它只返回“_Integral”提示。如果“all”导致 pdsolve() 挂起，因为积分困难或不可能，这很有用。这个元提示也将比“all”快得多，因为 integrate() 是一个昂贵的例程。
另请参阅 classify_pde() 的文档字符串以获取有关提示的更多信息，以及 pde 的文档字符串以获取所有支持的提示列表。
- 提示
你可以这样声明一个未知函数的导数：
>>> from sympy import Function, Derivative >>> from sympy.abc import x, y # x and y are the independent variables >>> f = Function("f")(x, y) # f is a function of x and y >>> # fx will be the partial derivative of f with respect to x >>> fx = Derivative(f, x) >>> # fy will be the partial derivative of f with respect to y >>> fy = Derivative(f, y)
查看 test_pde.py 中的许多测试，这些测试也作为如何使用 pdsolve() 的示例集。
pdsolve 总是返回一个 Equality 类（除非提示是 “all” 或 “all_Integral”）。请注意，与 ODE 的情况不同，无法获得 f(x, y) 的显式解。
执行 help(pde.pde_hintname) 以获取关于特定提示的更多帮助信息
示例
>>> from sympy.solvers.pde import pdsolve >>> from sympy import Function, Eq >>> from sympy.abc import x, y >>> f = Function('f') >>> u = f(x, y) >>> ux = u.diff(x) >>> uy = u.diff(y) >>> eq = Eq(1 + (2*(ux/u)) + (3*(uy/u)), 0) >>> pdsolve(eq) Eq(f(x, y), F(3*x - 2*y)*exp(-2*x/13 - 3*y/13))
- sympy.solvers.pde.classify_pde(
- eq,
- func=None,
- dict=False,
- *,
- prep=True,
- **kwargs,
返回一个 PDE 可能的 pdsolve() 分类的元组。
元组是有序的，因此第一个项目是 pdsolve() 默认用于求解 PDE 的分类。通常，列表开头的分类会比末尾的分类更快地产生更好的解决方案，尽管总会有例外。要让 pdsolve 使用不同的分类，请使用 pdsolve(PDE, func, hint=<分类>)。另请参阅 pdsolve() 文档字符串，了解您可以使用的不同元提示。
如果
dict为真，classify_pde() 将返回一个 hint:match 表达式项的字典。这是为 pdsolve() 的内部使用而设计的。请注意，由于字典的顺序是任意的，这很可能与元组中的顺序不同。你可以通过执行 help(pde.pde_hintname) 来获取不同提示的帮助，其中 hintname 是提示的名称，不包括 “_Integral”。
请参阅 sympy.pde.allhints 或 sympy.pde 的 docstring，以获取 classify_pde 可以返回的所有支持的提示列表。
示例
>>> from sympy.solvers.pde import classify_pde >>> from sympy import Function, Eq >>> from sympy.abc import x, y >>> f = Function('f') >>> u = f(x, y) >>> ux = u.diff(x) >>> uy = u.diff(y) >>> eq = Eq(1 + (2*(ux/u)) + (3*(uy/u)), 0) >>> classify_pde(eq) ('1st_linear_constant_coeff_homogeneous',)
- sympy.solvers.pde.checkpdesol(
- pde,
- sol,
- func=None,
- solve_for_func=True,
检查给定的解是否满足偏微分方程。
pde 是偏微分方程，可以以方程或表达式的形式给出。sol 是待检查的解，也可以以方程或表达式的形式给出。如果未提供函数，则使用 deutils 中的辅助函数 _preprocess 来识别函数。
如果传递了一个解决方案序列，将使用相同类型的容器来返回每个解决方案的结果。
以下方法目前正在实施，以检查解决方案是否满足偏微分方程：
直接将解代入偏微分方程并检查。如果解尚未求解 f，则它将求解 f，前提是 solve_for_func 未设置为 False。
如果解满足偏微分方程（PDE），则返回一个元组 (True, 0)。否则返回一个元组 (False, expr)，其中 expr 是解代入 PDE 后得到的值。然而，如果一个已知的解返回 False，这可能是因为 doit() 无法将其简化为零。
示例
>>> from sympy import Function, symbols >>> from sympy.solvers.pde import checkpdesol, pdsolve >>> x, y = symbols('x y') >>> f = Function('f') >>> eq = 2*f(x,y) + 3*f(x,y).diff(x) + 4*f(x,y).diff(y) >>> sol = pdsolve(eq) >>> assert checkpdesol(eq, sol)[0] >>> eq = x*f(x,y) + f(x,y).diff(x) >>> checkpdesol(eq, sol) (False, (x*F(4*x - 3*y) - 6*F(4*x - 3*y)/25 + 4*Subs(Derivative(F(_xi_1), _xi_1), _xi_1, 4*x - 3*y))*exp(-6*x/25 - 8*y/25))
提示方法¶
这些函数是为内部使用而设计的。然而，它们包含了关于各种求解方法的有用信息。
- sympy.solvers.pde.pde_1st_linear_constant_coeff_homogeneous(
- eq,
- func,
- order,
- match,
- solvefun,
求解具有常系数的线性齐次一阶偏微分方程。
这个偏微分方程的一般形式是
\[ \begin{align}\begin{aligned}a \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} + b \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} + c f(x,y) = 0\\a \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} + b \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} + c f(x,y) = 0\end{aligned}\end{align} \]其中 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 是常数。
一般解的形式为：
\[f(x, y) = F(- a y + b x ) e^{- \frac{c (a x + b y)}{a^2 + b^2}}\]并且可以在 SymPy 中通过
pdsolve找到:>>> from sympy.solvers import pdsolve >>> from sympy.abc import x, y, a, b, c >>> from sympy import Function, pprint >>> f = Function('f') >>> u = f(x,y) >>> ux = u.diff(x) >>> uy = u.diff(y) >>> genform = a*ux + b*uy + c*u >>> pprint(genform) d d a*--(f(x, y)) + b*--(f(x, y)) + c*f(x, y) dx dy >>> pprint(pdsolve(genform)) -c*(a*x + b*y) --------------- 2 2 a + b f(x, y) = F(-a*y + b*x)*e
参考文献
Viktor Grigoryan, “偏微分方程” 数学 124A - 2010年秋季, 第7页
示例
>>> from sympy import pdsolve >>> from sympy import Function, pprint >>> from sympy.abc import x,y >>> f = Function('f') >>> pdsolve(f(x,y) + f(x,y).diff(x) + f(x,y).diff(y)) Eq(f(x, y), F(x - y)*exp(-x/2 - y/2)) >>> pprint(pdsolve(f(x,y) + f(x,y).diff(x) + f(x,y).diff(y))) x y - - - - 2 2 f(x, y) = F(x - y)*e
- sympy.solvers.pde.pde_1st_linear_constant_coeff(
- eq,
- func,
- order,
- match,
- solvefun,
求解具有常系数的线性一阶偏微分方程。
这个偏微分方程的一般形式是
\[ \begin{align}\begin{aligned}a \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} + b \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} + c f(x,y) = G(x,y)\\a \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} + b \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} + c f(x,y) = G(x,y)\end{aligned}\end{align} \]其中 \(a\), \(b\) 和 \(c\) 是常数，而 \(G(x, y)\) 可以是 \(x\) 和 \(y\) 中的任意函数。
PDE 的一般解是：
\[\begin{split}f(x, y) = \left. \left[F(\eta) + \frac{1}{a^2 + b^2} \int\limits^{a x + b y} G\left(\frac{a \xi + b \eta}{a^2 + b^2}, \frac{- a \eta + b \xi}{a^2 + b^2} \right) e^{\frac{c \xi}{a^2 + b^2}}\, d\xi\right] e^{- \frac{c \xi}{a^2 + b^2}} \right|_{\substack{\eta=- a y + b x\\ \xi=a x + b y }}\, ,\end{split}\]其中 \(F(\eta)\) 是一个任意的单值函数。可以使用 SymPy 中的
pdsolve找到解:>>> from sympy.solvers import pdsolve >>> from sympy.abc import x, y, a, b, c >>> from sympy import Function, pprint >>> f = Function('f') >>> G = Function('G') >>> u = f(x, y) >>> ux = u.diff(x) >>> uy = u.diff(y) >>> genform = a*ux + b*uy + c*u - G(x,y) >>> pprint(genform) d d a*--(f(x, y)) + b*--(f(x, y)) + c*f(x, y) - G(x, y) dx dy >>> pprint(pdsolve(genform, hint='1st_linear_constant_coeff_Integral')) // a*x + b*y \ \| || / | || || | | || || | c*xi | || || | ------- | || || | 2 2 | || || | /a*xi + b*eta -a*eta + b*xi\ a + b | || || | G|------------, -------------|*e d(xi)| || || | | 2 2 2 2 | | || || | \ a + b a + b / | -c*xi || || | | -------|| || / | 2 2|| || | a + b || f(x, y) = ||F(eta) + -------------------------------------------------------|*e || || 2 2 | || \\ a + b / /|eta=-a*y + b*x, xi=a*x + b*y
参考文献
Viktor Grigoryan, “偏微分方程” 数学 124A - 2010年秋季, 第7页
示例
>>> from sympy.solvers.pde import pdsolve >>> from sympy import Function, pprint, exp >>> from sympy.abc import x,y >>> f = Function('f') >>> eq = -2*f(x,y).diff(x) + 4*f(x,y).diff(y) + 5*f(x,y) - exp(x + 3*y) >>> pdsolve(eq) Eq(f(x, y), (F(4*x + 2*y)*exp(x/2) + exp(x + 4*y)/15)*exp(-y))
- sympy.solvers.pde.pde_1st_linear_variable_coeff(
- eq,
- func,
- order,
- match,
- solvefun,
求解具有变系数的线性一阶偏微分方程。该偏微分方程的一般形式为
\[a(x, y) \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} + b(x, y) \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} + c(x, y) f(x, y) = G(x, y)\]其中 \(a(x, y)\)、\(b(x, y)\)、\(c(x, y)\) 和 \(G(x, y)\) 是 \(x\) 和 \(y\) 中的任意函数。通过以下变换，此偏微分方程被转换为常微分方程：
\(\xi\) 作为 \(x\)
\(\eta\) 作为微分方程 \(\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}\) 解中的常数
进行上述替换后，它简化为线性常微分方程
\[a(\xi, \eta)\frac{du}{d\xi} + c(\xi, \eta)u - G(\xi, \eta) = 0\]可以使用
dsolve来解决。>>> from sympy.abc import x, y >>> from sympy import Function, pprint >>> a, b, c, G, f= [Function(i) for i in ['a', 'b', 'c', 'G', 'f']] >>> u = f(x,y) >>> ux = u.diff(x) >>> uy = u.diff(y) >>> genform = a(x, y)*u + b(x, y)*ux + c(x, y)*uy - G(x,y) >>> pprint(genform) d d -G(x, y) + a(x, y)*f(x, y) + b(x, y)*--(f(x, y)) + c(x, y)*--(f(x, y)) dx dy
参考文献
Viktor Grigoryan, “偏微分方程” 数学 124A - 2010年秋季, 第7页
示例
>>> from sympy.solvers.pde import pdsolve >>> from sympy import Function, pprint >>> from sympy.abc import x,y >>> f = Function('f') >>> eq = x*(u.diff(x)) - y*(u.diff(y)) + y**2*u - y**2 >>> pdsolve(eq) Eq(f(x, y), F(x*y)*exp(y**2/2) + 1)
关于 pde 模块的信息¶
此模块包含 pdsolve() 及其使用的不同辅助函数。它深受 ode 模块的启发，因此基本基础设施保持不变。
本模块中的函数
这些是本模块中的用户函数：
pdsolve() - 解偏微分方程
classify_pde() - 将偏微分方程分类为 dsolve() 的可能提示。
- pde_separate() - 在偏微分方程中分离变量，通过
加法或乘法分离方法。
这些是本模块中的辅助函数：
pde_separate_add() - 用于搜索加性可分离解的辅助函数。
- pde_separate_mul() - 用于搜索乘法分离的辅助函数
可分离解。
当前实现的求解器方法
以下方法用于求解偏微分方程。有关每个方法的更多信息，请参阅各种 pde_hint() 函数的文档字符串（运行 help(pde)）：
一阶线性齐次偏微分方程与常系数。
一阶线性常系数偏微分方程。
具有变系数的1阶线性偏微分方程。