关于全纯函数¶

本文旨在解释全纯函数。我们假设您对微分方程和抽象代数有基本的了解。

定义¶

全纯函数是一种非常普遍的特殊函数类型，包括了许多已知的简单函数作为其特例。事实上，更为人熟知的超几何函数和Meijer G函数也是其特例。

如果一个函数是仅具有多项式系数的常微分方程的解，则称该函数为全纯函数。由于微分方程的通解由一系列函数组成，而不是单一函数，因此全纯函数通常由一组初始条件和微分方程共同定义。

设 \(K\) 是一个特征为 0 的域。例如， \(K\) 可以是 QQ 或 RR。如果存在多项式 \(p_0, p_1, p_2, ... p_r \in K[x]\)，使得函数 \(f(x)\) 是全纯的，那么 \(f(x)\) 就是全纯函数。

\[p_0 \cdot f(x) + p_1 \cdot f^{(1)}(x) + p_2 \cdot f^{(2)}(x) + ... + p_r \cdot f^{(r)}(x) = 0\]

这个微分方程也可以写成 \(L \cdot f(x) = 0\) 的形式，其中

\[L = p_0 + p_1 \cdot D + p_2 \cdot D^2 + ... p_r \cdot D^r\]

这里 \(D\) 是微分算子，而 \(L\) 被称为函数的零化子。

一个独特的全纯函数可以通过零化子和一组初始条件来定义。例如：

\[ \begin{align}\begin{aligned}f(x) = \exp(x): L = D - 1,\: f(0) = 1\\f(x) = \sin(x): L = D^2 + 1,\: f(0) = 0, f'(0) = 1\end{aligned}\end{align} \]

其他基本函数，如 \(\cos(x)\)、\(\log(x)\)、贝塞尔函数等，也是全纯的。

全纯函数族在加法、乘法、积分、复合运算下是封闭的。这意味着如果给定的两个函数是全纯的，那么对它们应用这些运算得到的结果函数也将是全纯的。