Note

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比较线性贝叶斯回归器#

本示例比较了两种不同的贝叶斯回归器：

自动相关性确定

贝叶斯岭回归

在第一部分中，我们使用普通最小二乘法 (OLS) 模型作为基准，比较模型系数与真实系数。随后，我们展示了通过迭代最大化观测值的边际对数似然来估计这些模型。

在最后一部分中，我们使用多项式特征扩展来拟合 X 和 y 之间的非线性关系，并绘制了 ARD 和贝叶斯岭回归的预测和不确定性。

# Author: Arturo Amor <david-arturo.amor-quiroz@inria.fr>

模型的鲁棒性以恢复真实权重#

生成合成数据集#

我们生成了一个数据集，其中 X 和 y 具有线性关系： X 的 10 个特征将用于生成 y 。其他特征对预测 y 没有用。此外，我们生成了一个 n_samples == n_features 的数据集。对于普通最小二乘法（OLS）模型来说，这样的设置是具有挑战性的，并且可能导致权重任意增大。对权重施加先验和惩罚可以缓解这个问题。最后，添加了高斯噪声。

from sklearn.datasets import make_regression

X, y, true_weights = make_regression(
    n_samples=100,
    n_features=100,
    n_informative=10,
    noise=8,
    coef=True,
    random_state=42,
)

拟合回归模型#

我们现在拟合贝叶斯模型和普通最小二乘法（OLS），以便稍后比较模型的系数。

import pandas as pd

from sklearn.linear_model import ARDRegression, BayesianRidge, LinearRegression

olr = LinearRegression().fit(X, y)
brr = BayesianRidge(compute_score=True, max_iter=30).fit(X, y)
ard = ARDRegression(compute_score=True, max_iter=30).fit(X, y)
df = pd.DataFrame(
    {
        "Weights of true generative process": true_weights,
        "ARDRegression": ard.coef_,
        "BayesianRidge": brr.coef_,
        "LinearRegression": olr.coef_,
    }
)

绘制真实和估计的系数#

现在我们将每个模型的系数与真实生成模型的权重进行比较。

import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from matplotlib.colors import SymLogNorm

plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = sns.heatmap(
    df.T,
    norm=SymLogNorm(linthresh=10e-4, vmin=-80, vmax=80),
    cbar_kws={"label": "coefficients' values"},
    cmap="seismic_r",
)
plt.ylabel("linear model")
plt.xlabel("coefficients")
plt.tight_layout(rect=(0, 0, 1, 0.95))
_ = plt.title("Models' coefficients")

由于添加了噪声，所有模型都无法恢复真实权重。实际上，所有模型总是有超过10个非零系数。与OLS估计相比，使用贝叶斯岭回归的系数略微向零偏移，这使它们更加稳定。ARD回归提供了一个更稀疏的解决方案：一些无信息系数被精确地设为零，而其他系数则更接近于零。一些无信息系数仍然存在并保持较大的值。

绘制边际对数似然函数#

import numpy as np

ard_scores = -np.array(ard.scores_)
brr_scores = -np.array(brr.scores_)
plt.plot(ard_scores, color="navy", label="ARD")
plt.plot(brr_scores, color="red", label="BayesianRidge")
plt.ylabel("Log-likelihood")
plt.xlabel("Iterations")
plt.xlim(1, 30)
plt.legend()
_ = plt.title("Models log-likelihood")

确实，这两种模型都将对数似然函数最小化到由 max_iter 参数定义的任意截止点。

Bayesian regressions with polynomial feature expansion#

生成合成数据集#

We create a target that is a non-linear function of the input feature. Noise following a standard uniform distribution is added.

from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures, StandardScaler

rng = np.random.RandomState(0)
n_samples = 110

# 对数据进行排序，以便后续绘图更容易进行
X = np.sort(-10 * rng.rand(n_samples) + 10)
noise = rng.normal(0, 1, n_samples) * 1.35
y = np.sqrt(X) * np.sin(X) + noise
full_data = pd.DataFrame({"input_feature": X, "target": y})
X = X.reshape((-1, 1))

# 外推
#
#
X_plot = np.linspace(10, 10.4, 10)
y_plot = np.sqrt(X_plot) * np.sin(X_plot)
X_plot = np.concatenate((X, X_plot.reshape((-1, 1))))
y_plot = np.concatenate((y - noise, y_plot))

拟合回归模型#

在这里，我们尝试使用10次多项式来潜在地过拟合，尽管贝叶斯线性模型会对多项式系数的大小进行正则化。由于对于:class:~sklearn.linear_model.ARDRegression 和:class:~sklearn.linear_model.BayesianRidge ， fit_intercept=True 是默认设置，因此:class:~sklearn.preprocessing.PolynomialFeatures 不应引入额外的偏差特征。通过设置 return_std=True ，贝叶斯回归器会返回模型参数后验分布的标准差。

ard_poly = make_pipeline(
    PolynomialFeatures(degree=10, include_bias=False),
    StandardScaler(),
    ARDRegression(),
).fit(X, y)
brr_poly = make_pipeline(
    PolynomialFeatures(degree=10, include_bias=False),
    StandardScaler(),
    BayesianRidge(),
).fit(X, y)

y_ard, y_ard_std = ard_poly.predict(X_plot, return_std=True)
y_brr, y_brr_std = brr_poly.predict(X_plot, return_std=True)

绘制带有分数标准误差的多项式回归图#

ax = sns.scatterplot(
    data=full_data, x="input_feature", y="target", color="black", alpha=0.75
)
ax.plot(X_plot, y_plot, color="black", label="Ground Truth")
ax.plot(X_plot, y_brr, color="red", label="BayesianRidge with polynomial features")
ax.plot(X_plot, y_ard, color="navy", label="ARD with polynomial features")
ax.fill_between(
    X_plot.ravel(),
    y_ard - y_ard_std,
    y_ard + y_ard_std,
    color="navy",
    alpha=0.3,
)
ax.fill_between(
    X_plot.ravel(),
    y_brr - y_brr_std,
    y_brr + y_brr_std,
    color="red",
    alpha=0.3,
)
ax.legend()
_ = ax.set_title("Polynomial fit of a non-linear feature")