Note

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瑞士卷和瑞士洞降维#

本笔记本旨在比较两种流行的非线性降维技术，T-分布随机邻嵌入（t-SNE）和局部线性嵌入（LLE），在经典的瑞士卷数据集上的表现。然后，我们将探讨它们如何处理数据中添加一个洞的情况。

Swiss Roll#

我们首先生成瑞士卷数据集。

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn import datasets, manifold

sr_points, sr_color = datasets.make_swiss_roll(n_samples=1500, random_state=0)

现在，让我们来看一下我们的数据：

fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
fig.add_axes(ax)
ax.scatter(
    sr_points[:, 0], sr_points[:, 1], sr_points[:, 2], c=sr_color, s=50, alpha=0.8
)
ax.set_title("Swiss Roll in Ambient Space")
ax.view_init(azim=-66, elev=12)
_ = ax.text2D(0.8, 0.05, s="n_samples=1500", transform=ax.transAxes)

计算LLE和t-SNE嵌入，我们发现LLE似乎能够非常有效地展开瑞士卷。另一方面，t-SNE能够保留数据的一般结构，但不能很好地表示我们原始数据的连续性。相反，它似乎不必要地将一些点聚集在一起。

sr_lle, sr_err = manifold.locally_linear_embedding(
    sr_points, n_neighbors=12, n_components=2
)

sr_tsne = manifold.TSNE(n_components=2, perplexity=40, random_state=0).fit_transform(
    sr_points
)

fig, axs = plt.subplots(figsize=(8, 8), nrows=2)
axs[0].scatter(sr_lle[:, 0], sr_lle[:, 1], c=sr_color)
axs[0].set_title("LLE Embedding of Swiss Roll")
axs[1].scatter(sr_tsne[:, 0], sr_tsne[:, 1], c=sr_color)
_ = axs[1].set_title("t-SNE Embedding of Swiss Roll")

LLE Embedding of Swiss Roll, t-SNE Embedding of Swiss Roll

LLE 似乎正在拉伸瑞士卷中心（紫色）的点。然而，我们观察到这只是数据生成方式的副产品。瑞士卷中心附近的点密度较高，这最终影响了 LLE 在低维度上重建数据的方式。

Swiss-Hole#

现在让我们看看这两种算法如何处理我们在数据中添加一个空洞。首先，我们生成瑞士卷空洞数据集并绘制它：

sh_points, sh_color = datasets.make_swiss_roll(
    n_samples=1500, hole=True, random_state=0
)

fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
fig.add_axes(ax)
ax.scatter(
    sh_points[:, 0], sh_points[:, 1], sh_points[:, 2], c=sh_color, s=50, alpha=0.8
)
ax.set_title("Swiss-Hole in Ambient Space")
ax.view_init(azim=-66, elev=12)
_ = ax.text2D(0.8, 0.05, s="n_samples=1500", transform=ax.transAxes)

计算LLE和t-SNE嵌入，我们得到与瑞士卷相似的结果。LLE非常有效地展开了数据，甚至保留了孔洞。t-SNE再次将部分点聚集在一起，但我们注意到它保留了原始数据的一般拓扑结构。

sh_lle, sh_err = manifold.locally_linear_embedding(
    sh_points, n_neighbors=12, n_components=2
)

sh_tsne = manifold.TSNE(
    n_components=2, perplexity=40, init="random", random_state=0
).fit_transform(sh_points)

fig, axs = plt.subplots(figsize=(8, 8), nrows=2)
axs[0].scatter(sh_lle[:, 0], sh_lle[:, 1], c=sh_color)
axs[0].set_title("LLE Embedding of Swiss-Hole")
axs[1].scatter(sh_tsne[:, 0], sh_tsne[:, 1], c=sh_color)
_ = axs[1].set_title("t-SNE Embedding of Swiss-Hole")